Aussagenlogik

Wahrheitstafeln

Wahrheitstafeln sind ein tabellarisches Hilfsmittel, um die Wahrheitswerte aussagenlogischer Formeln zu ermitteln. Sie bieten eine vollständige Darstellung der Wahrheitswerte der einzelnen Aussagen einer Formel und helfen dadurch insbesondere bei der Bestimmung des Wahrheitswertes für komplexe aussagenlogische Ausdrücke. Wahrheitstafeln werden in Form einer Tabelle notiert. Jede Spalte der Tabelle zeigt einen Teil der zu betrachtenden aussagenlogischen Formel. Die ersten Spalten stellen die Werte für die atomaren Operanden dar, während die nachfolgenden Spalten die Werte einzelner Teilausdrücke repräsentieren. Die Spalten werden sukzessive von links nach rechts ausgewertet. Für jede mögliche Kombination der Wertbelegung der Operanden existiert dabei eine Zeile in dieser Tabelle.

Beispiel: Wahrheitstafeln

Seien \(A\) und \(B\) Aussagen. Jede Aussage kann entweder wahr oder falsch sein. In der Wahrheitstafel existiert eine Zeile für jede mögliche Kombination der Wahrheitswerte für die Operanden, die in der betrachteten Formel vorkommen. Für eine aussagenlogische Formel, die die Operanden \(A\) und \(B\) enthält, sind folgende Kombinationen möglich:

1. \(A\) ist falsch und \(B\) ist falsch.
2. \(A\) ist wahr und \(B\) ist falsch.
3. \(A\) ist falsch und \(B\) ist wahr.
4. \(A\) ist wahr und \(B\) ist wahr.

Weitere Kombinationen existieren nicht. Somit enthält eine Wahrheitstafel für eine aussagenlogische Formel mit den Operanden \(A\) und \(B\) vier Zeilen, wobei jede Zeile jeweils einer Kombination entspricht.

Die ersten beiden Spalten der Wahrheitstafel sehen somit wie folgt aus:

Eine 0 entspricht hierbei dem Wahrheitswert falsch, eine 1 steht für wahr. Die weiteren Spalten der Wahrheitstafel hängen von der konkreten aussagenlogischen Formel ab, die betrachtet werden soll.

Schauen wir uns z.B. die Wahrheitstafel für die Konjunktion an. Dann existiert eine dritte Spalte, die den Wert des Ausdrucks \(A \land B\) anzeigt, abhängig von der gewählten Kombination der Wahrheitswerte für diese Zeile.

Die erste Zeile zeigt, welchen Wahrheitswert \(A \land B\) hat, wenn \(A\) und \(B\) falsch sind. Die zweite Zeile zeigt den Wahrheitswert von \(A \land B\), wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist. Die dritte Zeile enthält den Wert für den Fall, dass \(A\) falsch und \(B\) wahr ist. Die vierte und letzte Zeile zeigt den Fall, dass sowohl \(A\) als auch \(B\) wahr sind.

Als weiteres Beispiel folgt die Wahrheitstafel für die Implikation:

Interessanter sind Wahrheitstafeln, wenn komplexere Formeln untersucht werden. In diesen Fällen kommen weitere Spalten hinzu, in denen einzelne Teilausdrücke ausgewertet werden. Dies soll an einem einfachen Beispiel mit drei Operanden \(A, B\) und \(C\) illustriert werden.

Wir betrachten die Formel \(A \lor (B \land C)\). Weil die Formel drei Aussagen verknüpft, müssen wir der Wahrheitstafel eine weitere Spalte für den dritten Operanden hinzufügen. Außerdem kommen weitere Zeilen hinzu, weil es nun mehr Kombinationen für mögliche Wahrheitswerte gibt - statt wie bisher \(2^2 = 4\) Kombinationsmöglichkeiten gibt es nun \(2^3 = 8\) mögliche Kombinationen (denn wir betrachten drei Operanden \(A, B\) und \(C\), von denen jeder jeweils zwei Wahrheitswerte, wahr oder falsch, annehmen kann). Zusätzlich fügen wir eine weitere Spalte ein, in der wir zunächst die Klammer \((B \land C)\) auswerten, bevor wir den Wahrheitswert des gesamten Ausdrucks bestimmen. Indem man komplexe Formeln auf diese Weise in kleine "Häppchen" zerlegt und sie Stück für Stück (in der Wahrheitstafel von links nach rechts) auswertet, vereinfacht sich die Bestimmung der Wahrheitswerte erheblich. Die Wahrheitstafel für \(A \lor (B \land C)\) könnte z.B. wie folgt aussehen:

Wir haben gesehen, dass abhängig von der Belegung der Variablen ein aussagenlogischer Ausdruck in der Regel wahr oder falsch sein kann. Es existieren allerdings auch Ausdrücke, die unabhängig von der Belegung der Variablen immer wahr sind. Solche aussagenlogischen Formeln bezeichnet man als Tautologien.

Definition: Tautologie

Ein aussagenlogischer Ausdruck, der unabhängig von der Belegung der darin vorkommenden Variablen immer wahr ist, heißt Tautologie.

Beispiel: Tautologie

1. Sei \(T\) := true. Dann ist \(T\) eine Tautologie, denn \(T\) ist immer wahr.


2. Sei \(A\) ein aussagenlogischer Ausdruck. Dann ist \(A \lor \neg A\) eine Tautologie, wie man anhand der folgenden Wahrheitstafel veranschaulichen kann:
   

   \(A\)	\(\neg A\)	\(A \lor \neg A\)
   0	1	1
   1	0	1



3. Sei \(A\) ein aussagenlogischer Ausdruck. Dann ist \(A \lor 1\) eine Tautologie, wie man anhand der folgenden Wahrheitstafel veranschaulichen kann:
   

   \(A\)	\(1\)	\(A \lor 1\)
   0	1	1
   1	1	1

Definition: Kontradiktion

Ein aussagenlogischer Ausdruck, der unabhängig von der Belegung der darin vorkommenden Variablen immer falsch ist, heißt Kontradiktion.

Beispiel: Kontradiktion

1. Sei \(F\) := false. Dann ist \(F\) eine Kontradiktion, denn \(F\) ist immer falsch.


2. Sei \(A\) ein aussagenlogischer Ausdruck. Dann ist \(A \land \neg A\) eine Kontradiktion, wie man anhand der folgenden Wahrheitstafel veranschaulichen kann:
   

   \(A\)	\(\neg A\)	\(A \land \neg A\)
   0	1	0
   1	0	0



3. Sei \(A\) ein aussagenlogischer Ausdruck. Dann ist \(A \land 0\) eine Kontradiktion, wie man anhand der folgenden Wahrheitstafel veranschaulichen kann:
   

   \(A\)	\(0\)	\(A \land 0\)
   0	0	0
   1	0	0