Zahlensysteme

Allen Zahlensystemen ist gemein, dass sie jeweils eine speziell ausgezeichnete Zahl als Basis verwenden. Alle Zahlen des Systems lassen sich dann als Summen von Potenzen dieser Basiszahl schreiben.

Im Dezimalsystem gibt es die Ziffern 0, 1, 2, ..., 9 und es wird die Zahl 10 als Basiszahl verwendet. Der Wert einer Ziffer in einer Zahl hängt von ihrer Stelle ab. Betrachtet man beispielsweise die Zahl 424, so hat die erste 4 den Wert 400, während die zweite 4 den Wert 4 hat.
Im Dezimalsystem entspricht jede Stelle einer Zahl einer Potenz mit der Basis 10, also \(10^0 = 1, 10^1 = 10, 10^2 = 100\) usw., die mit der entsprechenden Ziffer an dieser Stelle multipliziert wird. Die Zahl 424 wird beispielsweise gebildet als \(424 = 4 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 4 \cdot 1 = 4 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0\).

Andere Zahlensysteme sind ganz ähnlich definiert, verwenden lediglich nur eine andere Basiszahl und einen anderen Vorrat an Ziffern.

Dezimalsystem

Das Dezimalsystem, auch Zehnersystem oder dekadisches System genannt, bezeichnet ein Zahlensystem, in dem die Zahl 10 als Basis verwendet wird. Die Entstehung dieses Systems geht vermutlich auf die Zahl der Finger der menschlichen Hände zurück, die als Zähl- bzw. Rechenhilfe genutzt wurden.

Die Zahlen des Dezimalsystems nennt man Dezimalzahlen. Zu ihrer Notation verwendet man die zehn bekannten Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Diese Ziffern werden als Dezimalziffern bezeichnet. In anderen Teilen der Welt werden hierfür mitunter andere Schriftzeichen verwendet, allerdings sind es - wie der Name des Systems bereits andeutet - immer zehn Stück.

Jede Zahl im Dezimalsystem lässt sich in der Form \[\pm d_md_{m-1}\dots d_1d_0,d_{-1}d_{-2}\dots d_{-n}\] mit \(m, n \in \mathbb{N}\) und \(d_i \in \{0, \dots, 9\}, -n \leq i \leq m\) darstellen.

Der Index \(i\) gibt den Stellenwert der jeweiligen Ziffer \(d_i\) an. Die Wertigkeit jeder Ziffer ist eine Zehnerpotenz \(10^i\). Die Ziffern werden direkt hintereinander geschrieben, wobei die Ziffer \(d_m\) mit dem höchsten Index ganz links am Anfang und die Ziffer mit dem niedrigsten Index \(d_{-n}\) ganz rechts am Ende steht.

Die Sellen mit \(i \geq 0\) bezeichnet man als Vorkommastellen, die Stellen \(i \lt 0\) als Nachkommastellen. Im deutschen Sprachraum wird als Trennzeichen der Vor- und Nachkommastellen das Komma verwendet. Im englischen Sprachraum ist hierfür statt des Kommas ein Punkt üblich. Zur Notation von ganzen Zahlen ohne Nachkommastellen, also Elementen aus \(\mathbb{Z}\), reichen die Stellen \(d_m \dots d_0\) aus. Man lässt in diesem Fall für gewöhnlich die Ziffern \(d_{-1} \dots d_{-n}\) sowie das trennende Komma weg und schreibt beispielsweise statt 5,0 einfach nur 5.

Der Wert \(z\) jeder Dezimalzahl im Dezimalsystem ergibt sich aus der Summe von Potenzen der Basis 10 entsprechend der Wertigkeit jeder Ziffer. Hierzu werden die Ziffern vor dem Komma mit Zehnerpotenzen mit nichtnegativen Exponenten und die Ziffern hinter dem Komma mit Zehnerpotenzen mit negativen Exponenten multipliziert und aufsummiert. Der Wert jeder Dezimalzahl lässt sich somit wie folgt berechnen: \[z = \pm \sum\limits_{i = -n}^{m}{z_i \cdot 10^i}\]

Beispiel: Dezimalsystem

\[5 = 5 \cdot 10^0\] \[= 5 \cdot 1\] \[= 5\]
\[35 = 3 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0\] \[= 3 \cdot 10 + 5 \cdot 1\] \[= 30 + 5\]
\[723 = 7 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0\] \[= 7 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 1\] \[= 700 + 20 + 3\]
\[46,95 = 4 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0 + 9 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2}\] \[= 4 \cdot 10 + 6 \cdot 1 + 9 \cdot 0,1 + 5 \cdot 0,01\] \[= 40 + 6 + 0,9 + 0,05\]
\[-3,5 = -(3 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1})\] \[= -(3 \cdot 1 + 5 \cdot 0,1)\] \[= -(3 + 0,5)\]
\[1234,567 = 1 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} + 6 \cdot 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3}\] \[= 1 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 0,1 + 6 \cdot 0,01 + 7 \cdot 0,001\] \[= 1000 + 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007\]

Um anzuzeigen, dass eine Zahl in einem bestimmten Zahlensystem notiert ist, verwendet man häufig einen tiefgestellten Index, der die Basiszahl dieses Systems angibt. Die Notation \(1234_{10}\) bedeutet z.B., dass es sich um die Zahl 1234 im Dezimalsystem handelt. Diese Information ist wichtig, da der Wert der Zahl in anderen Zahlensystemen vollkommen verschieden sein kann. Der Wert einer Zahl wird immer als Dezimalzahl angegeben, weil dies das Zahlensystem ist, in dem wir täglich rechnen. Es ist daher zu beachten, dass die Zahl 1234 nur im Dezimalsystem tatsächlich auch den Wert 1234 hat!
In anderen Zahlensystemen ist der Wert dieser Zahl ein anderer, wie wir im Folgenden sehen werden.
Es ist somit immer zwischen der Darstellung einer Zahl und ihrem tatsächlichen Wert zu unterscheiden. Da die meisten Zahlen, mit denen wir rechnen, Dezimalzahlen sind, werden wir im Folgenden den Index für diese häufig weglassen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, in welchem Zahlensystem wir abeiten und keine Missverständnisse zu befürchten sind. Falls nichts anders explizit angegeben ist, handelt es sich bei allen Zahlen ohne Angabe eines Zahlensystems im Folgenden stets um Dezimalzahlen.