Die einfachsten Zahlen sind die Zahlen \(1, 2, 3, \dots\). Sie werden natürliche Zahlen genannt, und die Menge der natürlichen Zahlen wird mit \(\mathbb{N}\) bezeichnet, also \[\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}.\]
Möchte man die 0 in die Menge einschließen, schreiben wir \[\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, \dots\}.\]
Wir erweitern die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen und die 0 und erhalten damit \[\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\},\] die so genannten ganzen Zahlen.
Wenn ganze Zahlen dividiert werden, ist das Ergebnis in der Regel keine ganze Zahl mehr. Wir erweitern daher den Zahlenbereich der ganzen Zahlen um die Ergebnisse der Division und erhalten die so genannten rationalen Zahlen, symbolisiert durch den Buchstaben \(\mathbb{Q}\). Es ist \[\mathbb{Q} = \left\{ {\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}}\text{ und }b \neq 0 \right\} .\]
Die rationalen Zahlen enthalten also Brüche \(\frac{a}{b}\) deren Zähler \(a\) beliebig in \(\mathbb{Z}\) und deren Nenner \(b\) eine beliebige ganze Zahl ist, die allerdings nicht \(0\) sein darf. Ist ein Bruch von der Form \(\frac{a}{1}\), so gilt \(\frac{a}{1} = a\), und es folgt, dass die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen sind.
Die Bruch-Schreibweise "ganze Zahl gefolgt von Bruch, der kleiner als 1 ist" führt oft zu mißverständlichen
Ergebnissen.
Beispiel: \(\frac{7}{2}\) wird oft als \(3\frac{1}{2}\) geschrieben, es wird also ein Pluszeichen unterdrückt,
da eigentlich \(3 + \frac{1}{2}\) gemeint ist. Die Schreibweise von \(3\frac{1}{2}\) wird aber allgemein als
\(3 \cdot \frac{1}{2}\) verstanden.
Für das Rechnen im täglichen Leben reichen die rationalen Zahlen nicht aus. Zum Beispiel ist die Zahl \(\sqrt{2}\) keine rationale Zahl.
Es gibt viele Zahlen - beispielsweise auch die Kreiszahl \(\pi\) - die nicht rational sind. Die moderne Mathematik hat dies mit der Erweiterung zum Bereich \(\mathbb{R}\) der reellen Zahlen geleistet.
Reelle Zahlen sind Dezimalzahlen. Sie lassen sich durch eine Abfolge von Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9, einem Dezimalkomma und ein Vorzeichen + oder -, wobei ersteres meist weggelassen wird, darstellen.
Betrachten wir abstrakt die Zahl \[\pm a_r a_{r-1}\dots a_{2}a_{1}a_{0},b_{1}b_{2}\dots b_{k}b_{k+1}\dots,\] wobei die \(a\)'s und \(b\)'s Ziffern zwischen 0 und 9 sind. Die Ziffer \(a_{0}\) bezeichnet die "Einer" der Zahl links vom Komma, \(a_{1}\) die Zehner, \(a_{2}\) die Hunderter und so weiter. Die Zahl links vom Komma ist \[\pm a_{r}a_{r-1}\dots a_{2}a_{1}a_{0} = 10^{r}a_{r}+10^{r-1}a_{r-1}+ \dots +10^{2}a_{2}+10a_{1}+a_{0}.\]
Die Nachkommazahl \(b_{1}b_{2}\dots b_{k}b_{k+1}\dots\) ist \[b_{1}b_{2}\dots b_{k}b_{k+1}\dots = \frac{b_{1}}{10}+\frac{b_{2}}{10^{2}}+ \dots +\frac{b_{k}}{10^{k}}+\frac{b_{k+1}}{10^{k+1}}+\dots\]
Man nennt die \(b\)'s Nachkommastellen. Wenn die \(b\)'s ab irgendeiner Stelle nur noc 0 sind, schreibt man die Nullen nicht mehr hin und sagt, dass es nur endlich viele Nachkommastellen gibt. Zu den Zahlen mit nur endlich vielen Nachkommastellen gehören auch die ganzen Zahlen, die gar keine Nachkommastellen haben. Bei den reellen Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen unterscheidet man zwei Fälle, nämlich die sogenannten periodischen Dezimalzahlen und die, die nicht periodisch sind.
Definition
Reelle Zahlen, bei denen sich ab einer bestimmten Stelle nach dem Dezimalkomma eine Folge von einer oder mehr
Ziffern immer wiederholt, nennt man periodisch. Die kleinste sich wiederholende Ziffernfolge wird die
Periode der Zahl genannt, und die Anzahl der Ziffern in der Periode heißt die
Periodenlänge.
Um die periodische Dezimalzahl leichter aufschreiben zu können, schreibt man die Periode nur einmal hin und setzt darüber einen Strich.
Beispiel
Einige Beispiele für periodische Dezimalzahlen:
Es gibt auch reelle Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, die nicht periodisch sind.
Beispiel
Die Kreiszahl \(\pi\), die für jeden Kreis das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser angibt, hat
unendlich viele Nachkommastellen, und es gibt keine erkennbare Ordnung ihrer Nachkommastellen.
Die Menge der reellen Zahlen, also aller Dezimalzahlen, bezeichnet man mit \(\mathbb{R}\).
In gewisser Hinsicht kann man sich eine reelle Zahl auch geometrisch vorstellen, nämlich als einen Punkt auf einer Geraden, die man die Zahlengerade nennt. Dabei müssen zwei Punkte dieser Zahlengeraden als 0 und 1 ausgezeichnet sein. Damit kann man dieMenge \(\mathbb{R}\) der reellen Zahlen "aufzeichnen."
Reelle Zahlen stellen sich so als Abstand zum Nullpunkt dar, wobei der Punkt 1 gerade den Abstand 1 hat. Punkte rechts von 0 werden als positive Zahlen und Punkte links von 0 als negative Zahlen interpretiert.
Eine reelle Zahl \(a\) ist kleiner als eine reelle Zahl \(b\), in Zeichen \(a\lt b\), wenn \(a\) auf der Zahlengeraden links von \(b\) liegt. Umgekehrt ist \(a\) größer als \(b\), in Zeichen \(a\gt b\), wenn \(a\) rechts von \(b\) auf der Zahlengeraden liegt.
Die Zeichen \(a\leq b\) bzw. \(a\geq b\) bedeuten, dass \(a\) kleiner oder gleich \(b\) bzw. \(a\) größer oder gleich \(b\) ist.
Intervalle kann man sich als zusammenhängende Stücke auf der Zahlengeraden vorstellen. Dabei können die Endpunkte eines Intervalls zum Intervall gehören oder auch nicht; das führt zu den Begriffen eines offenen, halboffenen oder geschlossenen Intervalls.
Definition
Seien \(a, b \in \mathbb{R}\), und sei \(a \lt b\).
Es gibt auch die sogenannten "uneigentlichen" Intervalle, die so heißen, weil sie Symbole enthalten, die eigentlich keine reellen Zahlen sind, nämlich \(\infty\) (unendlich) und \(-\infty\) (minus unendlich).
Definition
Sei \(a \in \mathbb{R}\).
Anschaulich ist wahrscheinlich klar, wann eine Teilmenge \(M\) der reellen Zahlen beschränkt ist.
Definition
Sei \(M \subseteq \mathbb{R}\).
Beispiel
Bemerkung
Um nachzuweisen, dass eine Menge nach oben (oder unten) beschränkt ist, muss eine reelle Zahl \(S\) angegeben
werden, so dass \(x \leq S\) (oder \(x \geq S\)) für alle \(x \in M\) gilt. In der Regel können sehr
viele verschiedene \(S\) dafür gewählt werden.
Beispiel
Sei \(M = [1, 2]\). Dann ist \(M\) nach oben beschränkt, denn \(x \leq 2\) für alle \(x \in M\). Wir
können also \(S = 2\) wählen. Es ist aber auch \(x \leq 3\) für alle \(x \in M\). Die Wahl
von \(S = 3\) wäre also auch korrekt gewesen.
Die rationalen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wenn wir die aus den reellen Zahlen herausnehmen, erhalten wir die sogenannten irrationalen Zahlen. Für die gibt es keine spezielle Bezeichnung, man schreibt für diese Menge einfach \(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\).
Beobachtung
Eine rationale Zahl \(\frac{a}{b}\) ist entweder eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen oder eine
periodische Dezimalzahl. Dabei fassen wir ganze Zahlen als Dezimalzahlen mit endich vielen (nämlich
keinen) Nachkommastellen auf.
Erläuterung
Um eine rationale Zahl \(\frac{a}{b}\) in eine Dezimalzahl umzurechnen, wird schriftlich dividiert. Dabei werden
natürliche Zahlen durch \(b\) mit Rest dividiert. Wird so ein Rest irgendwann \(0\), so bricht die Division
an dieser Stelle ab, wir sind fertig und haben nur endlich viele Nachkommastellen. Wir müssen jetzt also nur
überlegen, was passiert, wenn die Reste niemals \(0\) werden. Die Reste sind aber Zahlen zwischen \(1\) und
\(b\), und von solchen Zahlen gibt es nur endlich viele. Damit müssen sich die Reste irgendwann wiederholen
und dann mündet das Verfahren in eine Periode. Wir erhalten dann eine periodische Dezimalzahl.
Eine Dezimalzahl \(\pm a_{r}\dots a_{0},b_{1}\dots b_{s}\) mit nur endlich vielen Nachkommastellen (hier mit \(b_{1}\text{ bis } b_{s}\) bezeichnet) ist automatisch eine rationale Zahl, denn sie ist von der Form \[\pm a_{r}\dots a_{0},b_{1}\dots b_{s} = a_{r}\dots a_{0}+\frac{b_{1}}{10}+ \frac{b_{2}}{10^2}+\dots +\frac{b_{s}}{10^s},\] und eine Summe von Brüchen ist ein Bruch.
Auch periodische Dezimalzahlen sind rationale Zahlen, man kann eine perodische Dezimalzahl schematisch in einen
Bruch überführen.
Man geht wie folgt vor:
Man multipliziert die periodische Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz so, dass eine Periode vor dem Dezimalkomma
steht (bei \(0,3\overline{85} \rightarrow 10^3 \cdot 0,3\overline{85} = 385,\overline{85}\)).
Jetzt multipliziert man die periodische Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz so, dass eine Periode direkt nach dem Dezimalkomma
steht (bei \(0,3\overline{85} \rightarrow 10 \cdot 0,3\overline{85} = 3,\overline{85}\)).
Jetzt werden die beiden Gleichungen subtrahiert (\((10^3 - 10^1) \cdot 0,3\overline{85} = 382 \rightarrow
990 \cdot 0,3\overline{85} = 382\)).
Durch das Ergebnis der Subtraktion der Zehnerpotenzen teilen und kürzen (\(0,3\overline{85} = \frac{382}{990} =
\frac{191}{495}\)).
Die irrationalen Zahlen sind die in \(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\).
Zusammenfassung
Es gilt:
Damit haben wir unter den reellen Zahlen die rationalen identifiziert, und da die irrationalen die in \(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) sind, kennen wir auch die, nämlich:
Beobachtung
Die irrationalen Zahlen sind diejenigen Dezimalzahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben aber nicht
periodisch sind.
Wir haben bereits die Zahlenmengen \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}\text{ und }\mathbb{R}\) kennen gelernt. Manchmal benötigt man Teilmengen dieser Mengen, die dann oft besondere Bezeichnungen haben.
Bekannt ist bereits \[\mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{0\} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}.\]
Häufig verwendet wird auch \[\mathbb{R}^+ = \{r \in \mathbb{R} \mid r \gt 0\},\] \[\mathbb{R}^- = \{r \in \mathbb{R} \mid r \lt 0\}\] oder auch \[\mathbb{R}^+_0 = \{r \in \mathbb{R} \mid r \geq 0\},\] \[\mathbb{R}^-_0 = \{r \in \mathbb{R} \mid r \leq 0\}.\]
Andere Schreibweisen dafür sind auch \[\mathbb{R}^{\gt 0} = \{r \in \mathbb{R} \mid r \gt 0\}, \quad \mathbb{R}^{\lt 0} = \{r \in \mathbb{R} \mid r \lt 0\},\] \[\mathbb{R}^{\geq 0} = \{r \in \mathbb{R} \mid r \geq 0\}, \quad \mathbb{R}^{\leq 0} = \{r \in \mathbb{R} \mid r \leq 0\}.\]