Die einfachsten Zahlen sind die Zahlen \(1, 2, 3, \dots\). Sie werden natürliche Zahlen genannt, und die Menge der natürlichen Zahlen wird mit \(\mathbb{N}\) bezeichnet. Natürliche Zahlen können wir addieren und multiplizieren. Das Ergebnis ist dann wieder eine natürliche Zahl.
Seien \(a, b \text{ und }c\) natürliche Zahlen.
1. Rechenregel (Kommutativgesetz)
Die Addition und die Multiplikation natürlicher Zahlen sind kommutativ, das heißt, für alle
natürlichen Zahlen \(a\) und \(b\) gilt:
\[a + b = b + a \quad\text{und} \quad a \cdot b = b \cdot a.\]
Klammerregel
Rechenoperationen, die durch Klammern eingeschlossen sind, sind stets zuerst auszuführen.
2. Rechenregel (Assoziativgesetz)
Die Addition und die Multiplikation natürlicher Zahlen sind assoziativ, das heißt, für alle
natürlichen Zahlen \(a, b\) und \(c\) gilt:
\[(a + b) + c = a + (b + c) \quad\text{und} \quad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).\]
Da mit dem Assoziativgesetz die Reihenfolge bei der Addition und der Multiplikation natürlicher Zahlen irrelevant ist, könnte auf das Setzen von Klammern bei der Addition und der Multiplikation natürlicher Zahlen verzichtet werden. Es ist also \[a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) \quad\text{und} \quad a \cdot b \cdot c = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).\]
Merkregel
Punktrechnung geht vor Strichrechnung.
Das sogenannte Distributivgesetz regelt das Zusammenspiel von Addition und Multiplikation.
3. Rechenregel (Distributivgesetz)
Für alle natürlichen Zahlen gilt das Distributivgesetz. Dieses besagt, dass
\[a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\]
für alle \(a, b, c \in \mathbb{N}\) gilt.
Für die Subtraktion ist die Welt der natürlichen Zahlen zu klein. Es werden die negativen Zahlen und die \(0\) benötigt. Wir erweitern also den Zahlenbereich um mögliche Ergebnisse der Subtraktion und erhalten damit \[\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\},\] die so genannten ganzen Zahlen.
Rechenregeln für die Addition und Multiplikation ganzer Zahlen
Zu jeder ganzen Zahl \(a\) gibt es eine eindeutig bestimmte ganze Zahl \(b\), sodass \(a + b = 0\) gilt. Die Zahl \(b\) nennt man das additive Inverse zu \(a\).
Beispiel
Für \(a = 3\) ist \(-3\) das additive Inverse, denn \(3 + (-3) = 0\). Für \(a = -7\) ist \(7\) das
additive Inverse, denn \(-7 + 7 = 0\). Für \(a = 0\) ist \(0\) das additive Inverse, denn \(0 + 0 = 0\).
Ist \(a\) eine ganze Zahl, so bezeichnen wir das additive Inverse zu \(a\) mit \(-a\). Zu \(a = -7\) ist \(-a = -(-7) = 7\). Zu \(a = 0\) ist \(-a = 0\), und \(0\) ist die einzige Zahl \(a\), die \(a = -a\) erfüllt.
Rechenregeln für additive Inverse/Vorzeichenregeln
Merkregel
Für alle ganzen Zahlen \(a\) und \(b\) gilt \(a - b = a + (-b)\). Die Subtraktion in \(\mathbb{Z}\) ist also gerade die Addition von additiven Inversen in \(\mathbb{Z}\).
Vereinbarung
An Stelle von \(a + (-b)\) schreiben wir \(a - b\).
Es ist folgender Ausdruck \(a + (-b) + 3 \cdot (-a) - (-c)\) gegeben, wobei \(a, b, c \in \mathbb{Z}\) sind.
| \(a + (-b) + 3 \cdot (-a) - (-c)\) | \(= a - b + a \cdot (-3) + c\) |
| \(= a \cdot (1 - 3) - b + c\) | |
| \(= -2 \cdot a - b + c\) |
Vereinbarung
Wenn es nicht irreführend ist, schreiben wir an Stelle von \(a \cdot b\) nur \(ab\).
Außerdem ist \(a \cdot a = a^2, a \cdot a \cdot a = a^3,\) usw.
Wenn \(a\) und \(b\) ganze Zahlen sind, wobei \(b \neq 0\) gelten soll, dann ist \(\frac{a}{b}\) in der Regel keine ganze Zahl. Es gibt für \(\mathbb{Z}\) eine Art der Division, die Division mit Rest.
Division mit Rest
Zu ganzen Zahlen \(a, b\) mit \(b \neq 0\) gibt es ganze Zahlen \(m \text{ und }r\) so, dass \(a = mb + r\)
und \(r \geq 0 \text{ und }r \lt |b|\) ist. Dabei bezeichnet \(|b|\) den Betrag von \(b\), also
\(|b| = b, \text{ falls } b \geq 0 \text{ und } |b| = -b, \text{ falls } b \lt 0\) ist.
Man nennt \(r\) den Rest der Division von \(a\) durch \(b\) mit Rest.
Beispiel
Einige Beispiele für Division von \(a\) durch \(b\) mit Rest:
Wenn \(a\) und \(b\) so groß werden, dass man die Division mit Rest nicht mehr im Kopf ausrechnen kann, so funktioniert
die Berechnung folgendermaßen: Gegeben ist \(a\) und \(b\) mit \(b \neq 0\), man bilde \(\frac{a}{b}\) und schreibe
diesen Bruch als Dezimalzahl:
\[\frac{a}{b} = \pm a_r \dots a_0,b_1 \dots b_r \dots.\]
Ist \(a \geq 0 \text{ und } b \gt 0\), dann ist \(m = a_r \dots a_0 \text{ und } r = a - mb\).
Ist \(a \lt 0 \text{ und } b \gt 0\), dann ist \(m = -a_r \dots a_0 - 1 \text{ und } r = a - mb\).
Ist \(a \geq 0 \text{ und } b \lt 0\), dann ist \(m = -a_r \dots a_0 \text{ und } r = a - mb\).
Ist \(a \lt 0 \text{ und } b \lt 0\), dann ist \(m = a_r \dots a_0 + 1\text{ und } r = a - mb\).
Beispiel
Wenn ganze Zahlen dividiert werden, ist das Ergebnis in der Regel keine ganze Zahl mehr. Wir erweitern daher den Zahlenbereich der ganzen Zahlen um die Ergebnisse der Division und erhalten die so genannten rationalen Zahlen, symbolisiert durch den Buchstaben \(\mathbb{Q}\). Es ist \[\mathbb{Q} = \left\{ {\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}}\text{ und }b \neq 0 \right\} .\]
Die rationalen Zahlen enthalten also alle Brüche \(\frac{a}{b}\) deren Zähler \(a\) beliebig in \(\mathbb{Z}\) und deren Nenner \(b\) eine beliebige ganze Zahl ist, die allerdings nicht \(0\) sein darf. Ist ein Bruch von der Form \(\frac{a}{1}\), so gilt \(\frac{a}{1} = a\), und es folgt, dass die ganzen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen sind.
Brüche können wir addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Brüche können zu diesem Zweck umgeformt werden.
Erweitern von Brüchen
Multipliziert man Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl \(s \neq 0\), so ändert sich der
Wert des Bruchs nicht. In Formeln:
Für alle \(\frac{a}{b} \in \mathbb{Q} \text{ und alle } s \neq 0\) gilt:
\[\frac{a}{b} = \frac{a \cdot s}{b \cdot s}\]
Kürzen von Brüchen
Enthalten Zähler und Nenner eines Bruchs den gleichen von Null verschiedenen Faktor \(s\), so kann man diesen in
Zähler und Nenner streichen, ohne den Wert des Bruchs zu verändern. In Formeln:
Es ist
\[\frac{a \cdot s}{b \cdot s} = \frac{a}{b}\]
für alle \(s \neq 0\).
Wenn wir zwei Brüche addieren oder subtrahieren wollen, müssen beide den gleichen Nenner haben.
Addition/Subtraktion von Brüchen mit dem gleichen Nenner
Die Summe/Differenz von zwei Brüchen der Form \(\frac{a}{b}\text{ und }\frac{c}{b}\) ist
\[\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} \quad\text{und}\quad\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}.\]
Sind \(\frac{a}{b}\text{ und }\frac{c}{d}\) Brüche mit \(b \neq d\), so müssen wir sie, bevor wir sie addieren/subtrahieren, so erweitern, dass sie denselben Nenner haben. Diesen Vorgang nennt man Brüche gleichnamig machen. Wir erweitern \(\frac{a}{b}\text{ mit }d\) (dem Nenner von \(\frac{c}{d}\)), und wir erweitern \(\frac{c}{d}\text{ mit }b\) (dem Nenner von \(\frac{a}{b}\)). Dann gilt \(\frac{a}{b} = \frac{ad}{bd}\text{ und }\frac{c}{d} = \frac{bc}{bd}\), also \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\). Analog funktioniert die Subtraktion.
Addition/Subtraktion von Brüchen
Seien \(\frac{a}{b}\text{ und }\frac{c}{d} \text{ in }\mathbb{Q}\). Dann gilt
\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \quad\text{und}
\quad\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}.\]
Die Art des Gleichmachens funktioniert prinzipiell immer, ist aber oft nicht sinnvoll. So wird im Beispiel \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\) nur \(\frac{1}{2}\text{ mit }2\) erweitert und als Ergebnis \(\frac{3}{4}\) erhalten.
Die Multiplikation erfolgt nach dem Schema "Zähler mal Zähler" und "Nenner mal Nenner".
Multiplikation von Brüchen
Seien \(\frac{a}{b}\text{ und }\frac{c}{d} \text{ in }\mathbb{Q}\). Dann gilt
\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}.\]
Da wir die ganzen Zahlen als rationale Zahlen mit dem Nenner \(1\) interpretieren können, folgt aus dieser Vorschrift:
Multiplikation von Brüchen mit ganzen Zahlen
Sei \(a \in \mathbb{Z}\text{ und sei }\frac{b}{c} \in \mathbb{Q}\). Dann gilt
\[a \cdot \frac{b}{c} = \frac{ab}{c}.\]
Dazu brauchen wir noch einen Begriff. Zu einem Bruch \(\frac{a}{b} \in \mathbb{Q} \text{ mit } a\neq 0\) nennen wir
\(\frac{b}{a}\) den Kehrbruch oder Kehrwert von \(\frac{a}{b}\). Wenn man einen Bruch mit seinem
Kehrbruch multipliziert, so erhaltet man als Ergebnis \(1\).
Man nennt den Kehrbruch \(\frac{b}{a}\) zu einem Bruch \(\frac{a}{b} \text{ mit }a \neq 0\) auch das
multiplikative Inverse zu \(\frac{a}{b}\).
Addition/Subtraktion von Brüchen
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem multiplikativen Inversen (= Kehrbruch) des Bruchs
multipliziert. In Formeln:
\[\text{Für alle }\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{Q} \text{ mit } c \neq 0 \text{ gilt }
\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}.\]
Subtraktion und Division von Brüchen lassen sich wieder durch Addition und Multiplikation ausdrücken. Zu einer rationalen Zahl \(\frac{a}{b}\) bezeichnen wir - analog zu den Zahlen in \(\mathbb{Z}\) - mit \(-\frac{a}{b}\) diejenige Zahl, die wir zu \(\frac{a}{b}\) addieren müssen um \(0\) zu erhalten. Wieder nennt man \(-\frac{a}{b}\) das additive Inverse zu \(\frac{a}{b}\).
Die Subtraktion ist nichts anderes als die Addition von additiven Inversen, als Formel: \[\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{c}{d}+\left({-\frac{a}{b}}\right).\]
Eine Division durch \(0\) ist nicht möglich. Mit der Konvention, Subtraktion und Division als Addition (additiver Inverser) und Multiplikation (multiplikativer Inverser) zu schreiben, gelten wieder die allgemeinen Rechenregeln für \(\mathbb{Q}\), wie wir sie bereits für \(\mathbb{Z}\) kennen:
Rechenregeln für \(\mathbb{Q}\)
Sei \(a \in \mathbb{R}\), und sei \(a \gt 0\). Dann gibt es genau eine positive Zahl \(b\), sodass \(b^2=a\) ist. Diese Zahl \(b\) bezeichnet man mit \(\sqrt{a}\), gesprochen "Wurzel aus \(a\)". Für \(a=0\text{ ist }0^2=0\), und man definiert \(\sqrt{0}= 0\).
Merkregel
Wurzeln sind nur für Zahlen \(\geq 0\) definiert, und \(\sqrt{a}\gt 0\) für alle \(a \gt 0\).
Es ist \(\sqrt{4}=2\). Obwohl auch \( (-2)^2 = 4\) ist, ist \(-2\) keine Wurzel aus 4, denn es wird verlangt, dass die Wurzel einer positiven Zahl positiv ist.
Eine wichtige Eigenschaft von \(\mathbb{R}\)
Sei \(a \in \mathbb{R}, a \gt 0\), und sei \(p \in \mathbb{N}\). Dann gibt es genau eine positive Zahl
\(b\), sodass \(b^p = a\) ist. Diese Zahl wird mit \(\sqrt[p]{a}\) bezeichnet und die \(p\)-te Wurzel aus
\(a\) genannt. Für \(a = 0\text{ wird }\sqrt[p]{a}\text{ als }0\) definiert.
Merkregel
\(p\)-te Wurzeln sind nur für Zahlen \(\geq 0\) definiert, und \(\sqrt[p]{a}\gt 0\) für alle \(a \gt 0\).
Potenzierung mit natürlichen Zahlen
Sei \(a \in \mathbb{R}\), und \(n\) eine natürliche Zahl, so ist \(a^n\) definiert als das \(n\)-fache
Produkt von \(a\) mit sich selbst, also
\[a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}_{n\text{ mal}}.\]
Man nennt \(a\) die Basis und \(n\) den Exponenten von \(a^n\) und bezeichnet \(a^n\) selbst als die
\(n\)-te Potenz von \(a\). Weiterhin definiert man \(a^0=1\) für alle \(a\), selbst für \(a=0\).
Ein Zahlenbeispiel für das Potenzieren: Es ist \[\left({\frac{3}{2}} \right)^4 = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}.\]
Kommen wir zu den Rechenregeln des Potenzierens mit Exponenten in \(\mathbb{N}_0\).
Potenzregeln für Exponenten in \(\mathbb{N}_0\)
Für alle Zahlen \(a, b \in \mathbb{R}\) und alle natürlichen Zahlen \(m\) und \(n\) gilt
Drei Zahlenbeispiele zur Illustration der Regeln:
Es sind \(2^3=8\) und \(2^4=16\). Damit ist \(2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128\). Dasselbe erhalten wir, wenn wir
\(2^{3+4} = 2^7\) ausrechne.
Zur Illustration der zweiten Regel schauen wir uns \( {(2^3)}^4\) an. Es ist \(2^3=8\), also \({(2^3)}^4=8^4=4096\).
Dasselbe erhalten wir, wenn wir \(2^{3 \cdot 4} = 2^{12}\) ausrechnen.
Für die letzte Regel berechnen wir \(3^2 \cdot 5^2\), also \(9 \cdot 25=225\). Dasselbe erhalten wir, wenn wir
\( (3 \cdot 5)^2 = 15^2\) berechnen.
Mit diesen Regeln sollte klar sein, wie man mit Potenzen rechnen kann, solange der Exponent eine natürliche Zahl oder \(0\) ist.
Kommen wir jetzt zu Potenzen mit negativen Exponenten. Dazu sei \(a\) eine reelle Zahl, von der wir aber jetzt voraussetzen, dass sie \(\neq 0\) ist, sodass \(a \cdot b = 1\) ist. Diese Zahl \(b\) wird das multiplikative Inverse zu \(a\) genannt und mit \(a^{-1}\) oder \(\frac{1}{a}\) bezeichnet.
Multiplikative Inverse in \(\mathbb{R}\)
Zu jeder reellen Zahl \(a \in \mathbb{R} \text{ mit }a \neq 0\) gibt es eine Zahl \(a^{-1}=\frac{1}{a}\) sodass
\(a \cdot a^{-1} = a \cdot \frac{1}{a} = 1\) ist.
Dabei ist \(a^{-1}\) nur eine andere Schreibweise für \(\frac{1}{a}\).
Potenzen mit negativen Exponenten
Sei \(a \in \mathbb{R}, a \neq 0\), und sei \(n \in \mathbb{N}\). Wir definieren:
\[a^{-n}=\left({\frac{1}{a}}\right)^n.\]
Mit den Potenzregeln für Potenzen in \(\mathbb{N}\) gilt dann \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).
Es gelten die analogen Potenzregeln wie für Exponenten in \(\mathbb{N}_0\), nämlich
Potenzregeln für Exponenten in \(\mathbb{Z}\)
Seien \(a, b \in \mathbb{R}\) und \(m, n \in \mathbb{Z}\). Dann gilt:
Sei wieder \(a \gt 0\), und sei \(p \in \mathbb{N}\). Dann gilt \(\left({\sqrt[p]{a}}\right)^p = a = a^1\), und diese Beobachtung führt dazu, dass man an Stelle von \(\sqrt[p]{a}\) auch \(a^{\frac{1}{p}}\) schreibt. Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass \({\left({a^{\frac{1}{p}}}\right)}^p=a^{\frac{1}{p}\cdot p}=a^1=a\) ist, was genau dem entspricht, was wir von den Potenzgesetzen erwarten.
Bezeichnung
Für alle \(a \geq 0\) und alle \(p \in \mathbb{N}\) setzen wir \(\sqrt[p]{a} = a^{\frac{1}{p}}\).
Wir können die \(p\)-te Wurzel in die \(q\)-te Potenz erheben und wir können aus einer \(q\)-ten Potenz die \(p\)-te Wurzel ziehen.
Zusammenhang zwischen \({\left({a^{\frac{1}{p}}}\right)}^q\) und
\({\left({a^q}\right)}^{\frac{1}{p}}\)
Für alle \(a \gt 0\) und alle \(p,q \in \mathbb{N}\) gilt
\[{\left({a^{\frac{1}{p}}}\right)}^q={\left({a^q}\right)}^{\frac{1}{p}}\]
Fassen wir kurz zusammen, welche reellen Zahlen wir bisher in welche Potenzen erheben können. Für alle \(a \in \mathbb{R} \text{ gilt }a^0=1\). Sei \(p \in \mathbb{N}\). Für alle \(a \in \mathbb{R}\) können wir \(a^p\) bilden. Für alle \(a \neq 0\) haben wir \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\). Ferner haben wir \(a^{\frac{1}{p}}=\sqrt[p]{a}\) für alle \(a \geq 0\).
Wir definieren jetzt \(a^{\frac{q}{p}}\) für alle \(p,q \in \mathbb{N}\) durch \[a^{\frac{q}{p}}=\left({a^{\frac{1}{p}}}\right)^q.\]
Mit dem, was wir oben überlegt haben, gilt \(a^{\frac{q}{p}}=\left( {a^{\frac{1}{p}}} \right )^q =\left( {a^q} \right )^\frac{1}{p}\).
Kommen wir jetzt zur Definition von Potenzen, deren Exponenten negative rationale Zahlen sind. Das machen wir ganz analog zur Definition von Potenzen, deren Exponenten negative ganze Zahlen sind. Ist \(a \gt 0\), und seien \(p\) und \(q\) natürliche Zahlen, so setzen wir \[a^{-\frac{q}{p}}=\frac{1}{a^\frac{q}{p}}.\]
Dieser Ausdruck lässt sich folgendermaßen umformen: \[a^{-\frac{q}{p}}=\frac{1}{a^\frac{q}{p}}=\frac{1}{\sqrt[p]{a^q}}=\frac{1}{{\sqrt[p]{a}}^q} =\left (\frac{1}{\sqrt[p]{a}} \right)^q.\]
Genauso könnte mn auch schreiben: \[a^{-\frac{q}{p}}=\frac{1}{a^\frac{q}{p}}=\frac{1}{\sqrt[p]{a^q}}=\sqrt[p]{\frac{1}{a^q}}.\]
Zusammenfassung - Potenzen mit ganzen und rationalen Exponenten
Seien \(p\) und \(q\) in \(\mathbb{N}\).