Rechnen mit Buchstaben

Ausmultiplizieren

In der Mathematik bezeichnet Term einen sinnvollen Ausdruck, der Ziffern, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind sozusagen die grammatikalisch korrekten Wörter oder Wortgruppen in der Sprache der Mathematik. Das Umformen von Termen ist die Grundlage für das Beherrschen aller mathematischen Disziplinen, und im Wesentlichen lässt es sich unter dem Schlagwort "Variationen zum Thema Distributivgesetz" fassen. Termumformungen umfassen das Ausmultiplizieren von Klammern, das Ausklammern und das Einsetzen von Termen in Terme.

Die Distributivgesetze

\(a(b+c) = ab +ac\), dieses Gesetz heißt Distributivgesetz. Wir haben auch die Formel \((a+b)c=ac + bc\), die wir ebenfalls Distributivgesetz nennen wollen. Die Distributivgesetze machen Aussagen darüber, wie sich die Addition und die Multiplikation vertragen.

Oft sind \(a, b \text{ und } c\) nicht irgendwelche Zahlen, sondern selbst wieder Terme. Trotzdem reichen alleine die beiden Distributivgesetze aus, die Klammern aufzulösen.

Ein Beispiel: Wir möchten (ganz ausführlich) die Klammer des Ausdrucks \((x+y)(a+b)\) auflösen. Dazu führen wir die Abkürzung \(A = a+b\) ein. Dann gilt

Die binomischen Formeln

Binomische Formeln
Für alle reellen Zahlen \(a\) und \(b\) gilt

1. \((a+b)^{2} = a^2 + 2ab + b^2\)
2. \((a-b)^{2} = a^2 - 2ab + b^2\)
3. \((a+b)(a-b)=a^2 - b^2\)

Alle diese Formeln beweist man, indem man die Klammern ausmultipliziert und dann gleichnamige Terme (also Terme, die dieselben Variablen mit jeweils derselbn Potenz enthalten) zusammenfasst.

Beispiel: \[(a+b)^2 = (a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\] Beim dritten Gleichheitszeichen haben wir das Kommutativgesetz \(ab=ba\) verwendet, und beim letzten Gleichheitszeichen haben wir \(ab +ab\) zu \(2ab\) zusammengefasst. Dass man Terme zusammenfassen kann, liegt wieder am Distributivgesetz, es gilt nämlich
\(ab+ab=1\cdot ab+1\cdot ab=(1+1)ab=2ab\).

Ausklammern

Noch einmal das Distributivgesetz

Lesen wir das Distributivgesetz jetzt einfach mal rückwärts: \(ab + ac = a(b+c)\). Verbal könnte man diese Formel auch folgendermaßen ausdrücken: Enthalten in einer Summe die Summanden einen gemeinsamen Faktor, so können wir diesen Faktor herausziehen. Dieses Herausziehen nennt man Ausklammern.

Terme kürzen

Ausklammern ist besonders dann von Interesse, wenn wir Brüche, deren Zähler und Nenner Terme sind, kürzen wollen.

Polynomdivision

Terme aus Termen auszuklammern ist in der Regel gar nicht einfach, wenn man keine Idee hat, welchen Term man eigentlich ausklammern will oder kann. Aber wenn man eine Idee hat und wenn im Term nur eine Variable vorkommt, dann hilft die Polynomdivision. Die Polynomdivision funktioniert im Prinzip genauso wie die schriftliche Division.

Beispiel
Nehmen wir an, wir hätten den Verdacht, dass wir \(x+1\) aus \(x^3+6x^2+9x+4\) ausklammern können. Wenn das stimmt, dann lässt sich \(x^3+6x^2+9x+4\) ohne Rest durch \(x+1\) teilen. Machen wir also den Ansatz: