Mengen

Was sind Mengen?

Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von Objekten, die Elemente von M genannt werden.
Die Menge, deren Elemente die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und 8 beinhaltet, wird in der Form M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} geschrieben. Bei einer Menge kommt es auf die Reihenfolge, in der die Elemente geschrieben werden, nicht an.

Merkregel
Zwei Mengen M und N sind gleich, wenn jedes Element aus M auch in N liegt und umgekehrt jedes Element in N auch in M liegt.

Merkregel
Kommt in einer Menge ein Element mehrfach vor, so ist diese Menge dieselbe wie die, in der das Element nur einmal vorkommt.

Die Mengen {1, 1, 2, 3} und {1, 2, 3} sind gleich. In einer Menge schreibt man daher ein Element nur einmal hin.

Zusammenfassung
Eine Menge ist eine nicht geordnete Zusammenfassung verschiedener Elemente.

Wenn M eine Menge und a ein Element aus M ist, dann schreibt man dafür \(a \in M\) und sagt dafür "\(a\) ist ein Element von (oder aus) \(M\)"

Wie Mengen beschrieben werden

Beispiel
Es ist die Menge aller durch 3 teilbaren ganzen Zahlen zu beschreiben. Es gibt unendlich viele durch 3 teilbaren Zahlen.
\( {M_{3} = \{\dots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \dots \} } \)

Manchmal ist so eine Auflistung aller Elemente oder eine selbsterklärende Pünktchen-Schreibweise nicht möglich, dann versucht man, die Elemente durch Eigenschaften, die sie besitzen müssen, zu beschreiben. Dabei verwendet man folgenden formalen Aufbau: Nach der sich öffnenden Klammer schreibt man, aus welchem größeren Kontext die Elemente stammen sollen. Dann folgt ein senkrechter Strich |, der als "für die gilt" gelesen wird. Es folgt die Charakterisierung der Elemente gefolgt von der schließenden Klammer.

Beispiel
\( M_{3}=\{k\in\mathbb{Z}\enspace |\enspace k \enspace ist \enspace durch \enspace 3 \enspace teilbar\} \)
Gelesen wird das als "\( M_{3}\) ist die Menge aller ganzen Zahlen \(k\), für die gilt, dass \(k\) durch 3 teilbar ist".

Zusammenfassung
Mengen werden in der Regel durch eine Charakterisierung ihrer Elemente beschrieben.

Mächtigkeit von Mengen und die leere Menge

Falls eine Menge M nur endlich viele Elemente enthält, handelt es sich um eine endliche Menge. Die Anzahl ihrer Elemente wird die Mächtigkeit von M genannt und mit |M| bezechnet. Zwei endliche Mengen, die gleich viele Elemente besitzen, heißen gleichmächtig.

Beispiel
Die Mengen \(M = \{3, 4, 5, 6, 7\}\) und \(F = \{rot, grün, gelb, blau, weiß\}\) sind endliche Mengen. Es sind \(|M|\) = 5 und \(|F|\) = 5, also haben beide Mengen die Mächtigkeit 5, sind also gleichmächtig.

Ein Spezialfall einer endlichen Menge ist die sogenannte leere Menge. Sie enthält kein einziges Element. Sie wird mit \(\varnothing\) bezeichnet. Es ist \(|\varnothing|\) = 0.

Falls \(M\) unendlich viele Elemente enthält, so sagen wir, dass \(M\) eine unendliche Menge ist, die Mächtigkeit der unendlichen Menge \(M\) ist unendlich. Man schreibt \(|M| = \infty\).

Beispiel
Da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, gilt \(|\mathbb{N}| = \infty\).
Anmerkung: \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\).

Der Begriff der Gleichmächtigkeit lässt sich für unendliche Mengen nicht so einfach verallgemeinern.

Zusammenfassung
Der Begriff der Mächtigkeit \(|M|\) einer Menge \(M\) drückt aus, wie viele Elemente \(M\) enthält. Dabei gilt:

• \(|\varnothing| = 0\)
• \(|M| = n\), falls \(M\) endlich ist und \(n\) Elemente enthält
• \(|M| = \infty\), falls \(M\) eine unendliche Menge ist

Teilmengen und echte Teilmengen

Wenn \(M\) und \(N\) Mengen sind und wenn jedes Element aus \(M\) auch in \(N\) liegt, dann sagt man, dass \(M\) eine Teilmenge von \(N\) ist und schrebt dafür \(M \subseteq N\). Manchmal wird auch die Schreibweise \(M \subset N\) verwendet. Gilt \(M \subseteq N\), so sagt man auch, dass \(N\) eine Obermenge von \(M\) ist.

Beispiel
Einige Beispiele für Teilmengen:

• \(\{2, 4, 6\} \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
• \(\{2, 4, 6\} \subseteq \mathbb{N}\)
• \(\{a \in \mathbb{N} \enspace | \enspace a \enspace ist \enspace gerade\} \subseteq \mathbb{N}\)
• \(M \subseteq M\) gilt für jede Teilmenge \(M\)
• \(\varnothing \subseteq M\) gilt für jede Menge \(M\).

Wenn \(M \subseteq N\) gilt und wenn es in \(N\) Elemente gibt, die nicht schon in \(M\) liegen, so ist \(M\) eine echte Teilmenge von \(N\). Dafür schreibt man \(M \subsetneq N\), manchmal wird auch die Schreibweise \(M \subset N\) verwendet.

Beispiel
Einige Beispiele für echte Teilmengen:

• \(\{2, 4, 6\} \subsetneq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
• \(\{2, 4, 6\} \subsetneq \mathbb{N}\)
• \(\{a \in \mathbb{N} \enspace | \enspace a \enspace ist \enspace gerade\} \subsetneq \mathbb{N}\)
• \(\varnothing \subsetneq M\) gilt für jede Menge \(M\), die mindesens ein Element enthält.

Warnung
Vorsicht: Um die (echte) Teilmengenbeziehung zwischen Mengen auszudrücken, sind verschiedene mathematische Bezeichnungen üblich.

Durchschnitt und disjunkte Mengen

Wenn \(M\) und \(N\) Mengen sind, dann kann es sein, dass es Elemente gibt, die sowohl in \(M\) als auch in \(N\) liegen. Solche Elemente werden im sogenannten Durchschnitt von \(M\) und \(N\) zusammengefasst, und dieser wird mit \(M \cap N\) bezeichnet und "\(M\) geschnitten \(N\)" ausgesprochen.

Definition
Der Durchschnitt \(M \cap N\) von zwei Mengen \(M\) und \(N\) ist die Menge
\[M \cap N = \{a \enspace \vert \enspace a \in M \enspace und \enspace a \in N\}.\]

Beispiel
Einige Beispiele für Durchschnitt von Mengen. Dabei ist \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3,\dots\}\) (die natürlichen Zahlen) und \(\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,\dots\}\) (die ganzen Zahlen):

• Seien \(M = \{1, 3, 5, 8\}\) und \(N = \{3, 7, 8, 12\}\). Dann ist \(M \cap N = \{3, 8\}\).
• Ist \(M = \{a \in \mathbb{Z} \enspace \vert \enspace a \geq 0\}\) und \(N = \{a \in \mathbb{Z} \enspace \vert \enspace a \leq 0\}\), so ist \(M \cap N = \{0\}\).
• Es ist \(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z} = \mathbb{N}\).

Definition
Wenn \(M\) und \(N\) Mengen sind, die kein gemeinsames Element besitzen, dann sagt man, dass \(M\) und \(N\) disjunkt sind.

Für disjunkte Mengen \(M\) und \(N\) gilt immer \(M \cap N = \varnothing\).

Beispiel
Die Mengen \(M = \{1, 2, 3\}\) und \(N = \{7, 8, 9\}\) sind disjunkt.

Vereinigung

Elemente von zwei Mengen \(M\) und \(N\) können wir in einer neuen Menge zusammenfassen und erhalten so die Vereinigungsmenge \(M \cup N\), die "\(M\) vereinigt \(N\)" ausgesprochen wird.

Definition
Die Vereinigung \(M \cup N\) von zwei Mengen \(M\) und \(N\) ist die Menge
\[M \cup N = \{a \enspace \vert \enspace a \in M \enspace und/oder \enspace a \in N\}.\]

Beispiel
Einige Beispiele für Vereinigungsmengen:

• Sind \(M = \{1, 2, 3, 4\}\) und \(N = \{2, 3, 4, 5\}\), so ist \(M \cup N = \{1, 2, 3, 4, 5\}\).
• Es ist \(\mathbb{N} \cup \{0\} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} = \{a \in \mathbb{Z} \enspace \vert \enspace a \geq 0\}\)

Komplementärmenge

Wenn wir aus einer Menge \(M\) Elemente entfernen wollen, so gibt es dafür auch eine formale Schreibweise.

Definition
Seien \(M\) und \(N\) Mengen. Die Menge \(M \backslash N\) ist definiert als
\[M \backslash N = \{m \in M \enspace \vert \enspace m \notin N\}.\] Ausgesprochen wird \(M \backslash N\) als "\(M\) ohne \(N\)". Man nennt \(M \backslash N\) das Komplement oder die Komplementärmenge zu \(N\) in \(M\). Auch üblich ist die Bezeichnung Differenzmenge \(M\) ohne \(N\).

Beispiel
Einige Beispiele für Komplementärmengen:

• Wenn \(M\) und \(N\) disjunkt sind (also \(M \cap N = \varnothing\)), dann ist \(M \backslash N = M\), denn es gibt kein Element, das entfernt wird.
• Sind \(M = \{1, 2, 3, 4\}\) und \(N = \{2, 3, 4, 5\}\), so ist \(M \backslash N = \{1\}\).
• Wenn \(M\) eine Teilmenge von \(N\) ist, dann ist \(M \backslash N = \varnothing\).

Kartesisches Produkt

Sind zwei Mengen \(M\) und \(N\) gegeben, so kann daraus eine neue Menge konstruiert werden.

Definition
Seien \(M\) und \(N\) Mengen. Dann ist
\[M \times N = \{(m, n) \enspace \vert \enspace m \in M, n \in N\}\] das kartesische Produkt von \(M\) und \(N\) (ausgesprochen "\(M\) kreuz \(N\)"). Die Elemente von \(M \times N\) nennt man geordnete Paare.

Beispiel
Sei \(M = \{1, 2, 3\}\) und \(N = \{4, 5\}\). Dann ist

Die Elemente heißen geordnete Paare, denn \((1, 4) \in M \times N\), aber \((4, 1) \notin M \times N\). Es kommt bei den Paaren also auf die Reihenfolge an. Das erste Element liegt in \(M\), das zweite in \(N\).

Beispiel
Sei \(\mathbb{N} \times \mathbb{Z} = \{(n, z) \enspace \vert \enspace n \in \mathbb{N}, z \in \mathbb{Z}\}\), wobei \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots \}\) und \(\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}\) gilt.
Es gilt \((1, 3), (3, 1), (1, -3) \in \mathbb{N} \times \mathbb{Z}\), aber \((-3,1) \notin \mathbb{N} \times \mathbb{Z}\).

Es ist zu beachten, dass in der Regel \(M \times N \neq N \times M\) gilt. So ist zum Beispiel
\[\{4, 5\} \times \{1, 2, 3\} = \{(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)\} \neq \{1, 2, 3\} \times \{4, 5\}\]